El triple del siguiente
3(x + 1)
Primero sumás 1. Después multiplicás todo por 3.
Si x = 4: 3 · (4 + 1) = 15
MATEMÁTICA / 1.º SECUNDARIA
La incógnita
tiene sus reglas.
Encontrá x sin adivinar. Probá, desarmá la cuenta y comprobá que los dos lados sigan diciendo lo mismo.
Clase de ejemplo de ecuaciones. Explorá las explicaciones y actividades para practicar paso a paso.
01 EMPEZÁ PROBANDO
¿Qué número hace que esto cierre?
Las tres fichas x valen lo mismo. Si juntás sus valores y agregás 2, tenés que llegar a 17.
x+x+x+ 2= 17
3x + 2 = 17
Con x = 4: 3 · 4 + 2 = 14. Todavía faltan 3 para llegar a 17.
Probá x = 4, x = 5 y x = 6. ¿En cuál el primer miembro vale 17? Respuesta: x = 5, porque 3 · 5 + 2 = 17.
02 DE LAS PALABRAS A LOS SÍMBOLOS
Un paréntesis puede cambiar la historia.
Elegí una letra para el número desconocido. Después respetá el orden que pide la frase: el siguiente es x + 1; el anterior es x − 1; la mitad es x : 2.
El siguiente del triple
3x + 1
Primero multiplicás por 3. Después sumás 1.
Si x = 4: 3 · 4 + 1 = 13
Con x = 4 dan 15 y 13. Los paréntesis sí importan.
¿Cuál representa «el triple del siguiente de un número»?
Una pista
Marcá primero qué expresión representa «el siguiente».
Solución explicada
3(x + 1). Los paréntesis indican que se triplica todo el siguiente.
Dos números consecutivos: si el primero es x, ¿cómo escribís su producto?
Una pista
Consecutivos significa que se llevan una unidad. Producto significa multiplicación.
Solución explicada
x(x + 1). Esta es una expresión; aquí solo traducimos, no resolvemos una ecuación cuadrática.
03 DOS LADOS, UN MISMO TRATO
El igual es un compromiso.
En una igualdad, las expresiones de los dos miembros tienen el mismo valor. Una ecuación incluye una incógnita: buscamos qué valor hace verdadera esa igualdad. En estas ecuaciones de primer grado, x aparece elevada a 1.
Lo mismo en ambos miembros
Podés sumar o restar una misma cantidad en los dos lados. También multiplicar o dividir los dos por un mismo número distinto de cero. Así conservás las soluciones.
En 3x + 2 = 17, ¿qué deja 3x solo y conserva las mismas soluciones?
Una pista
Buscamos dos cosas: conservar la igualdad y deshacer el +2.
Solución explicada
Restar 2 a ambos miembros. Sumar 2 a ambos también conserva la igualdad, pero no aísla 3x.
RESOLVÉ CON EL CUADERNO ABIERTO
3x + 2 = 17, paso a paso
Inicio · reconocé la incógnita
3x + 2 = 17
Queremos dejar x sola, conservando la igualdad.
1 / 5
Todos los pasos juntos
- 3x + 2 = 17.
- Restá 2 a ambos lados: 3x + 2 − 2 = 17 − 2, entonces 3x = 15.
- Dividí ambos lados por 3: 3x : 3 = 15 : 3, entonces x = 5.
- Reemplazá en la ecuación original: 3 · 5 + 2 = 17.
- 17 = 17. El valor 5 es solución.
04 ABRÍ LOS PARÉNTESIS
Dos caminos. Una misma solución.
En 6(x − 2) = 12, el 6 multiplica a todo el paréntesis. Podés distribuir o deshacer primero esa multiplicación.
Camino 1 · repartir el 6
6 · x+6 · (−2)= 6x − 12
- 6x − 12 = 12 · Distribuí en los dos términos.
- 6x = 24 · Sumá 12 a ambos miembros.
- x = 4 · Dividí ambos miembros por 6.
Camino 2 · deshacer el producto
- x − 2 = 2 · Dividí ambos miembros de 6(x − 2) = 12 por 6.
- x = 4 · Sumá 2 a ambos miembros.
Es más corto en este caso porque todo el miembro izquierdo está multiplicado por 6.
Verificá en la original: 6 · (4 − 2) = 6 · 2 = 12.
Al desarrollar 4(x − 3), ¿qué obtenés?
Una pista
Dibujá dos flechas desde el 4: una hacia x y otra hacia −3.
Solución explicada
4x − 12. Multiplicá cada término del paréntesis por 4.
Cuando hay x de los dos lados
4(x − 3) = 2(x + 6)
- Distribuí: 4x − 12 = 2x + 12.
- Restá 2x a ambos miembros: 2x − 12 = 12.
- Sumá 12: 2x = 24.
- Dividí por 2: x = 12.
La verificación da 36 = 36. Podés practicar esta misma ecuación más abajo.
Situaciones que se pueden presentar: ¿se cancela o queda negativo?
−6 + 6 = 0. Son números opuestos: tienen el mismo valor absoluto y signos distintos. Imaginá que debés 6 y pagás esos 6: ya no debés nada. En la recta numérica, partís de −6 y avanzás 6 lugares hacia la derecha: llegás a 0.
Cancelar significa que esa suma vale cero. No queda un signo menos suelto. Por ejemplo, 2x − 6 + 6 = 2x + 0 = 2x: se cancelan los números, pero el término 2x sigue ahí.
1. Tu ejercicio 15, punto 1 b · página 31
4(x − 3) = 2(x + 6)
Este es otro camino para resolver el mismo ejercicio de arriba. Dividimos primero los dos miembros por 2:
- 2(x − 3) = x + 6. El 4 dividido por 2 da 2; el 2 del otro miembro dividido por 2 da 1.
- 2x − 6 = x + 6. Distribuimos: 2 · x = 2x y 2 · (−3) = −6.
- Sumamos 6 a ambos miembros:
2x − 6 + 6 = x + 6 + 6.
A la izquierda, −6 + 6 = 0. A la derecha, 6 + 6 = 12. Queda 2x = x + 12. - Restamos x a ambos miembros:
2x − x = x + 12 − x.
Como 2x − x = x y x − x = 0, queda x = 12.
No juntes el −6 de un lado del igual con el +6 del otro como si estuvieran en una misma suma. Para conservar la igualdad, escribí la operación completa en ambos miembros.
Comprobación: 4(12 − 3) = 36 y 2(12 + 6) = 36. En el punto b, la solución es positiva.
2. ¿Y si la solución sí queda negativa?
En el ejercicio 15, punto 1 f (el desafío F de abajo), aparece exactamente −6 + 6, pero el negativo de la solución se obtiene en otro paso:
9 + (6x − 4) : 2 = 2(x − 3) + 6
- Resolvemos la división de la izquierda y distribuimos a la derecha:
9 + 3x − 2 = 2x − 6 + 6. - A la izquierda, 9 − 2 = 7; a la derecha, −6 + 6 = 0:
7 + 3x = 2x. - Restamos 2x a ambos miembros:
7 + x = 0. - Restamos 7 a ambos miembros:
7 + x − 7 = 0 − 7.
Por eso x = −7: el negativo sale de 0 − 7, no de −6 + 6.
Comprobación con x = −7: a la izquierda, 9 + (−46) : 2 = −14; a la derecha, 2 · (−10) + 6 = −14. La solución negativa es correcta.
3. Tres cuentas para reconocer la diferencia
- −6 + 6 = 0: son opuestos y se cancelan.
- −6 + 4 = −2: avanzás 4 lugares desde −6 y todavía quedás 2 lugares a la izquierda del cero.
- −6 − 6 = −12: desde −6 retrocedés otros 6 lugares. Acá no se cancelan.
Probá explicarlo con tus palabras: en el punto f, ¿qué cuenta da cero y qué cuenta da −7?
Ver la explicación
−6 + 6 da cero y deja 2x en el miembro derecho. Más adelante, al despejar x, aparece 0 − 7 = −7. Son dos pasos distintos.
05 DETECTIVE DE ERRORES
La cuenta da. El paso no.
Revisemos un procedimiento. Mirá este intento antes de calcular nada:
3x + 21 = 171
x + 21 = 57 ← ¿vale este cambio?
x = 36
En este intento, ¿dónde se pierde la equivalencia?
Una pista
Dividir un miembro por 3 significa dividir TODA su expresión, no solamente un término.
Solución explicada
La segunda línea. Camino correcto: 3x = 171 − 21 = 150; x = 50. Verificación: 3 · 50 + 21 = 171.
06 PONÉ EL PROBLEMA EN UNA ECUACIÓN
Antes de despejar, traducí.
1. Qué busco2. Lo llamo x3. Planteo la igualdad4. Resuelvo y respondo
Dos números consecutivos suman 75. Si el menor es x, ¿cuál es la ecuación?
Una pista
Nombrá cada número antes de elegir la operación.
Solución explicada
x + (x + 1) = 75 → 2x + 1 = 75 → x = 37. Los números son 37 y 38; 37 + 38 = 75.
La respuesta final necesita contexto: en este problema son dos números, 37 y 38. Dar solamente x = 37 deja la respuesta incompleta.
07 AHORA, TU CUADERNO
Del paso acompañado al intento propio.
Tomados o adaptados del material que subiste. Resolvé en papel antes de comprobar. Si una cuenta no cierra, abrí la pista y volvé al paso que necesitás revisar.
Sin paréntesis
A 7x − 8 + 2x = 4x + 17
Planteo y resolución: __________________________________________________
Pista
Agrupá 7x + 2x. Después restá 4x y sumá 8 en ambos miembros.
Ver desarrollo y verificación
9x − 8 = 4x + 17 → 5x = 25 → x = 5. Al reemplazar: 35 − 8 + 10 = 20 + 17; ambos miembros valen 37.
Dos miembros con x
B 4(x − 3) = 2(x + 6)
Planteo y resolución: __________________________________________________
Pista
Distribuí en ambos miembros: 4x − 12 = 2x + 12.
Ver desarrollo y verificación
4x − 12 = 2x + 12 → 2x = 24 → x = 12. Verificación: 4 · 9 = 2 · 18 = 36.
También se distribuye la división
C (35x − 50) : 5 = 2x + 15
Planteo y resolución: __________________________________________________
Pista
Dividí AMBOS términos del paréntesis por 5: 7x − 10.
Ver desarrollo y verificación
7x − 10 = 2x + 15 → 5x = 25 → x = 5. Verificación: (175 − 50) : 5 = 10 + 15 = 25.
Un enunciado, una ecuación
D La tercera parte de una cantidad de dinero, más 24, es 100. ¿Cuál es la cantidad?
Planteo y resolución: __________________________________________________
Pista
Si la cantidad es x, su tercera parte es x : 3. Planteá x : 3 + 24 = 100.
Ver desarrollo y verificación
x : 3 + 24 = 100 → x : 3 = 76 → x = 228. Verificación: 228 : 3 + 24 = 76 + 24 = 100.
Dos desafíos más para profundizar
Desafío de paréntesis
E El triple del anterior de un número es el doble de su siguiente. ¿Cuál es el número?
Planteo y resolución: __________________________________________________
Pista
El anterior es x − 1 y el siguiente, x + 1. Planteá 3(x − 1) = 2(x + 1).
Ver desarrollo y verificación
3x − 3 = 2x + 2 → x = 5. Verificación: 3 · 4 = 2 · 6 = 12.
Desafío extra · puede dar negativo
F 9 + (6x − 4) : 2 = 2(x − 3) + 6
Planteo y resolución: __________________________________________________
Pista
A la izquierda queda 9 + 3x − 2. A la derecha, 2x − 6 + 6.
Ver desarrollo y verificación
7 + 3x = 2x → x = −7. Verificación: 9 + (−42 − 4) : 2 = −14; 2(−7 − 3) + 6 = −14. El signo negativo no es un error: ambos miembros coinciden.