Matemática6.º gradoFracciones
Un medio más un tercio, ¿da dos quintos?
Sumar y restar fracciones con distinto denominador tiene un secreto que entra en dos palabras: cortar parejo. Acá lo vas a ver, lo vas a hacer con tus manos y lo vas a poder explicar.
El problema de Tomi
Tomi está haciendo panqueques. Ya puso 1/2 taza de leche, pero la masa quedó espesa y la abuela le dice: «agregale 1/3 de taza más». Tomi quiere anotar cuánta leche usó en total y hace la cuenta en una servilleta:
1/2+1/3=2/5
Su hermana Cami lee la servilleta y se ríe: «¿Le agregaste leche y ahora hay menos?». Mirá las tiras:
¿Dónde está la trampa? ¿Y cuánta leche hay de verdad? Dentro de un rato lo vas a calcular vos.
Al terminar vas a poder
- explicar por qué no se pueden juntar pedazos de distinto tamaño;
- buscar un denominador común y amplificar sin errores;
- sumar y restar fracciones y números mixtos, y simplificar el resultado;
- resolver problemas de recetas, pizzas, jarras y recorridos.
Pedazos de distinto tamaño no se cuentan juntos
En 5.º grado sumaste fracciones con el mismo denominador, como 2/7 + 3/7 = 5/7. Era como contar figuritas: dos séptimos más tres séptimos son cinco séptimos. Funcionaba por una razón: todos los pedazos eran del mismo tamaño.
Numerador · arribaCuenta cuántos pedazos tenés.
Denominador · abajoDice en cuántas partes iguales se cortó el entero. Es el nombre del pedazo: medios, tercios, cuartos, sextos…
Sumar numeradores es contar pedazos. Y contar juntos solo tiene sentido si los pedazos son iguales. Con 1/2 + 1/3 aparece el problema: un medio y un tercio son pedazos de distinto tamaño.
Con la plata pasa lo mismo: si tenés un billete de $2000 y uno de $1000, «tengo dos billetes» no dice cuánta plata hay. Para saberlo, pasás todo a la misma unidad, los pesos: 3000 pesos. Con las fracciones vamos a hacer algo parecido: llevar las dos al mismo tamaño de pedazo.
La trampa de Tomi: arriba con arriba, abajo con abajo
Tomi sumó los numeradores (1 + 1 = 2) y los denominadores (2 + 3 = 5). Se ve prolijo, pero el resultado es imposible. Mirá dónde queda cada fracción en la recta:
Si agregás leche, tiene que haber más que antes. Pero 2/5 es menos que 1/2: con la cuenta de Tomi, la leche se achicó.
Otra prueba: con la regla de Tomi, 1/2 + 1/2 daría 2/4, que es otra vez un medio. ¡Dos mitades de pizza serían media pizza!
Regla de oro
Solo podés sumar o restar los numeradores cuando los pedazos son del mismo tamaño, es decir, cuando los denominadores son iguales. Si no lo son, primero hay que cortar parejo.
Para pensar
¿Cuál de estas cuentas se puede resolver ya, contando pedazos?
Recortar sin cambiar la cantidad
¿Cómo se consiguen pedazos del mismo tamaño? Cortando. Si cortás cada pedazo en partes más chicas, todas iguales, la cantidad no cambia: un sándwich de miga cortado en tres sigue siendo el mismo sándwich. Lo que cambia es el nombre de lo que tenés.
¿Por qué se multiplica arriba y abajo?
Mirá la tercera tira: cada medio se cortó en 3 pedazos iguales.
- El entero tenía 2 pedazos; ahora tiene 2 × 3 = 6. El denominador se multiplicó por 3.
- Tu parte era 1 pedazo; ahora son 1 × 3 = 3. El numerador también se multiplicó por 3.
Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número se llama amplificar. Lo que obtenés es una fracción equivalente: otro nombre para la misma cantidad.
Simplificar: pegar pedazos
El camino de vuelta también vale. Si en 6/8 pegás los pedazos de a 2, te quedan 3/4: dividiste arriba y abajo por 2. Eso es simplificar. Cuando ya no hay ningún número mayor que 1 que divida a la vez al numerador y al denominador, la fracción es irreducible: está escrita de la forma más simple.
12/18÷ 26/9÷ 32/3
También podías dividir de una sola vez por 6: 12/18 = 2/3.
Trampa: cortar abajo y olvidarte de arriba
Si para pasar 1/2 a sextos escribís 1/6, cortaste el entero en 6, pero te quedaste con un solo pedacito y tiraste los otros dos. 1/6 es tres veces más chico que 1/2.
Lo que hacés abajo, lo hacés arriba
Para amplificar o simplificar, multiplicá o dividí el numerador y el denominador por el mismo número.
Completá
Escribí el numerador que falta para que las dos fracciones sean equivalentes.
El taller de recortes
Ahora cortás vos. Elegí un pedido y cortá cada tira, pedazo por pedazo, hasta que las dos tengan pedazos del mismo tamaño. Recién ahí se pueden juntar. Probá distintos cortes: ¿hay uno solo que funcione?
Elegí un pedido
Tira naranja
Tira azul
Un pedazo de cada tira
¿En cuántos pedazos conviene cortar?
En el taller, las tiras quedaron parejas cuando sus denominadores llegaron al mismo número. Ese número tiene que estar en la tabla de los dos denominadores: es un múltiplo común. Por eso lo llamamos denominador común.
Camino seguro
Multiplicar los denominadores
Para 1/4 y 1/6: 4 × 6 = 24. El producto siempre está en las dos tablas, así que nunca falla. Pero a veces da números grandes, y al final hay más para simplificar.
Camino corto
El múltiplo común menor
Recorré la tabla del denominador más grande y frená en el primer número que también esté en la tabla del otro. Tabla del 6: 6 (¿está en la del 4? no), 12 (¿está en la del 4? ¡sí!). El 12 es el múltiplo común menor de 4 y 6. También lo vas a escuchar como mínimo común múltiplo (m.c.m.).
| Casos | Qué pasa | Común menor |
|---|---|---|
| 2 y 8 | El 8 ya está en la tabla del 2: alcanza con cortar los medios. | 8 |
| 3 y 4 | Las tablas no se cruzan antes del producto, 3 × 4. | 12 |
| 4 y 6 | Se cruzan antes del producto, que es 4 × 6 = 24. | 12 |
Cualquier múltiplo común da el resultado correcto. El menor solo te ahorra cuentas.
La cuenta completa, paso a paso
Ya tenés todas las piezas. Esta es la receta para cualquier suma o resta de fracciones:
- ¿Mismo tamaño? Mirá los denominadores. Si son iguales, sumá o restá los numeradores y listo.
- Buscá un denominador común. Mejor, el múltiplo común menor.
- Amplificá cada fracción. «¿Por cuánto multiplico este denominador para llegar al común?» Por ese mismo número multiplicá el numerador.
- Sumá o restá los numeradores. El denominador queda igual: sextos más sextos dan sextos.
- Simplificá y, si te pasaste del entero, podés escribirlo como número mixto.
- ¿Es razonable? Antes de terminar, estimá. Por ejemplo, 1/2 + 1/3 tiene que dar más que 1/2 y menos que 1.
Ejemplo 1: la leche de Tomi
1/2 + 1/3
Medios y tercios: distinto tamaño.
común: 6
Tabla del 3: 3, 6… El 6 también está en la tabla del 2.
3/6 + 2/6
1/2 = 3/6, porque 2 × 3 = 6 y lo que hago abajo lo hago arriba: 1 × 3 = 3. Igual, 1/3 = 2/6 (por 2).
= 5/6
Sextos más sextos dan sextos: 3 + 2 = 5.
5/6 es más que 1/2 y menos que 1: razonable. Tomi usó 5/6 de taza de leche, casi una taza entera: para llenarla falta 1/6. Cami tenía razón.
Ejemplo 2: una resta
3/4 − 1/6
Cuartos y sextos: distinto tamaño.
común: 12
Tabla del 6: 6, 12. El 12 está en la tabla del 4.
9/12 − 2/12
4 × 3 = 12, entonces 3 × 3 = 9. Y 6 × 2 = 12, entonces 1 × 2 = 2.
= 7/12
9 − 2 = 7. ¿Se puede simplificar? 7 y 12 no tienen ningún divisor común mayor que 1: es irreducible.
¿Y si usabas 24, que es 4 × 6? 18/24 − 4/24 = 14/24, y simplificando por 2, 7/12. El mismo resultado, con una vuelta más.
Ejemplo 3: simplificá al final
1/6 + 1/3
El 6 ya está en la tabla del 3: solo hay que cortar los tercios.
1/6 + 2/6 = 3/6
1 + 2 = 3 sextos.
= 1/2
Pegando los sextos de a 3 se forma un medio: dividí arriba y abajo por 3.
Ejemplo 4: cuando te pasás del entero
5/6 + 3/4
Común: 12, porque en la tabla del 6 (6, 12) el 12 es el primero que está en la del 4.
10/12 + 9/12 = 19/12
5 × 2 = 10 y 3 × 3 = 9.
= 17/12
Con 12 doceavos se arma un entero y sobran 7. Es la división 19 ÷ 12 = 1, con resto 7.
Las dos fracciones están cerca de 1, así que la suma tiene que estar cerca de 2, sin llegar: 17/12 es razonable.
Cuatro trampas y cómo desarmarlas
Trampa 1
Arriba con arriba, abajo con abajo
1/2+1/3=2/5
Desarmala: una suma tiene que dar más que cada sumando, y 2/5 es menos que 1/2. Bien hecha da 5/6.
Trampa 2
Sumar también los denominadores
3/6+2/6=5/12
Desarmala: el denominador es el nombre del pedazo y no se suma. Sextos más sextos dan sextos, como figuritas más figuritas dan figuritas: 5/6.
Trampa 3
Amplificar solo abajo
1/2+1/3=1/6+1/6
Desarmala: 1/2 no es 1/6. Lo que hacés abajo, lo hacés arriba: 3/6 + 2/6.
Trampa 4
Dejar sin simplificar
6/12+4/12=10/12
Desarmala: no está mal, pero quedó a mitad de camino. Dividí arriba y abajo por 2: 5/6.
El cuaderno de Tomi
Tomi hizo la tarea, pero en cada cuenta cayó en una trampa. Leé cada una y elegí qué le pasó.
Cuenta 1 de 4
2/3+1/4=3/7
Cuenta 2 de 4
1/2+1/4=2/4+1/4=3/8
Cuenta 3 de 4
1/3+1/2=1/6+1/6=2/6
Cuenta 4 de 4
3/4+1/12=9/12+1/12=10/12
Números mixtos: enteros que se juntan y se rompen
Un número mixto, como 21/2, junta enteros y una fracción: dos enteros y un medio. Para sumarlos o restarlos podés trabajar por partes: enteros con enteros y fracciones con fracciones. Y las fracciones siguen la regla de siempre: primero, cortar parejo.
Sumar: si las fracciones se pasan de 1, armá un entero más
Lu sale en bici por la costanera. El primer tramo mide 23/4 km y el segundo, 11/2 km. ¿Cuántos kilómetros hizo?
2 + 1 = 3
Enteros con enteros.
3/4 + 2/4 = 5/4
Fracciones con fracciones. El común es 4, porque el 4 ya está en la tabla del 2: 1/2 = 2/4.
5/4 = 11/4
¡Te pasaste del entero! Cuatro cuartos forman 1 y sobra 1/4.
3 + 11/4 = 41/4
Ese entero se suma a los otros, como cuando en 18 + 7 te llevás uno.
Lu hizo 41/4 km. Razonable: casi 3 km más un kilómetro y medio da un poco menos de 4 y medio.
Restar: cuando no alcanza, pedí prestado un entero
En la alacena hay 31/4 kg de harina. Para las pizzas del sábado se usan 12/3 kg. ¿Cuánta harina queda?
33/12 − 18/12
Cortá parejo: el común de 4 y 3 es 12. 1/4 = 3/12 y 2/3 = 8/12.
3/12 − 8/12
¡No alcanza! Tenés 3 doceavos y tenés que sacar 8.
215/12 − 18/12
Pedí prestado uno de los 3 enteros y rompelo en doceavos: 1 = 12/12. Quedan 2 enteros y 12 + 3 = 15 doceavos.
= 17/12
15 − 8 = 7 doceavos, y 2 − 1 = 1 entero.
Quedan 17/12 kg, un poco más de un kilo y medio. Razonable: si a algo más de 3 le sacás casi 2, queda algo más de 1.
Trampa
Pedir prestado 10
En las cuentas con números naturales, pedir prestado suma 10, porque cada lugar vale 10 veces el de al lado. Acá no: un entero vale 12/12 si trabajás en doceavos, 4/4 en cuartos, 6/6 en sextos. Si pedís 10, te queda 213/12 y el resultado sale mal.
Trampa
Dar vuelta la resta
Como 3/12 es menos que 8/12, dan ganas de hacer 8/12 − 3/12 = 5/12 y escribir 25/12. Pero así restaste al revés y el resultado queda más grande que el verdadero.
Otro camino: pasá todo a fracción
31/4 son 3 enteros de cuatro cuartos cada uno (12 cuartos) más 1 cuarto: 13/4. Del mismo modo, 12/3 = 5/3. Entonces:
13/4−5/3=39/12−20/12=19/12=17/12
El mismo resultado, sin préstamos, aunque con números más grandes. Usá el camino que te resulte más claro.
Para pensar
Estás restando en doceavos y tenés que pedir prestado un entero. ¿Cuánto le agregás a los doceavos que ya tenías?
A resolver: la cocina, la pizza, la jarra y la bici
Diez desafíos de menor a mayor y uno final. Escribí cada resultado en los casilleros; si querés usar un número mixto, los enteros van a la izquierda. Si algo no da, el verificador te dice qué error encontró y te da una pista.
1 · Elegí
¿Cuál de estos números sirve como denominador común para 3/4 y 1/6?
2 · Completá
Escribí el numerador que falta.
3 · Calculá
1/2+1/5=
Solución
Tabla del 5: 5, 10. El 10 está en la tabla del 2: es el común. 1/2 = 5/10 (por 5) y 1/5 = 2/10 (por 2). 5/10 + 2/10 = 7/10.
4 · Calculá
5/6−1/3=
Solución
El 6 ya está en la tabla del 3: el común es 6. 1/3 = 2/6. 5/6 − 2/6 = 3/6, y simplificando por 3, 1/2.
5 · Verdadero o falso
«3/4 + 1/2 da menos que 1, porque las dos fracciones son menores que 1.»
6 · Calculá
2/3+5/6=
Solución
El común es 6. 2/3 = 4/6. 4/6 + 5/6 = 9/6. Simplificando por 3, 3/2, que es 11/2: un entero y medio.
7 · Calculá
13/4+21/2=
Solución
Enteros: 1 + 2 = 3. Fracciones: 3/4 + 2/4 = 5/4 = 11/4. Total: 3 + 11/4 = 41/4.
8 · Calculá
41/6−13/4=
Solución
Común: 12. 41/6 = 42/12 y 13/4 = 19/12. 2/12 no alcanza para sacar 9/12: pedí prestado un entero. 42/12 = 314/12. 314/12 − 19/12 = 25/12.
9 · Problema: la receta
Los panqueques llevan 3/4 de taza de leche. Cami ya puso 1/3 de taza. ¿Cuánta leche le falta poner?
Solución
Común: 12. 3/4 = 9/12 y 1/3 = 4/12. 9/12 − 4/12 = 5/12. Le falta poner 5/12 de taza.
10 · Problema: la jarra
Una jarra tiene 11/2 litros de limonada. En el almuerzo se sirven 2/3 de litro. ¿Cuánta limonada queda?
Solución
Común: 6. 11/2 = 13/6 y 2/3 = 4/6. 3/6 no alcanza para sacar 4/6: rompé el entero. 13/6 = 9/6. 9/6 − 4/6 = 5/6. Quedan 5/6 de litro.
Desafío final · La pizza de los sábados
En la casa de Sofi piden una pizza grande. Mamá come 1/4 de la pizza, Lucas come 1/3 y la abuela, 1/6. ¿Cuánta pizza queda para Sofi?
Pista para empezar: ¿en cuántas porciones iguales conviene imaginarla cortada?
Solución
Pensá la pizza en 12 porciones (el 12 está en la tabla del 4, del 3 y del 6). Mamá: 1/4 = 3/12. Lucas: 1/3 = 4/12. La abuela: 1/6 = 2/12. Juntos: 9/12. Quedan 12/12 − 9/12 = 3/12 = 1/4 de pizza.
Respuestas de toda la clase
Durante la clase
- Para pensar (sección 1): 3/8 + 4/8 = 7/8.
- Completá (sección 2): 2/3 = 8/12, porque 3 × 4 = 12 y 2 × 4 = 8.
- Taller: 1/2 + 1/3 = 5/6; 1/4 + 1/6 = 5/12; 2/3 + 3/4 = 17/12 = 15/12; 5/6 − 1/4 = 7/12; 1/2 + 3/8 = 7/8.
- Cuaderno de Tomi: 1) arriba con arriba y abajo con abajo (bien: 11/12); 2) sumó también los denominadores (bien: 3/4); 3) amplificó solo abajo (bien: 5/6); 4) le faltó simplificar (5/6).
- Para pensar (sección 5): el entero prestado vale 12/12.
Práctica
- 12.
- 15: 5/6 = 15/18.
- 5/10 + 2/10 = 7/10.
- 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
- Falso: 3/4 + 2/4 = 5/4 = 11/4, más que 1.
- 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2 = 11/2.
- 3 + 5/4 = 3 + 11/4 = 41/4.
- 314/12 − 19/12 = 25/12.
- 9/12 − 4/12 = 5/12 de taza.
- 9/6 − 4/6 = 5/6 de litro.
- Desafío: comieron 9/12 = 3/4; quedan 3/12 = 1/4 de pizza.
Para llevarte
La receta de cortar parejo
- ¿Mismo tamaño?1/2 + 1/3: medios y tercios. No.
- Denominador comúnTabla del 3: 3, 6. El 6 está en la del 2.
- Amplificar arriba y abajo3/6 + 2/6
- Sumar o restar los numeradores5/6: el denominador no cambia.
- Simplificar o pasar a mixto5/6 ya es irreducible.
- ¿Es razonable?Más que 1/2 y menos que 1. Sí.
Lo que tenés que poder explicar
- Por qué solo se suman los numeradores cuando los pedazos son del mismo tamaño.
- Por qué al amplificar se multiplica arriba y abajo, y la cantidad no cambia.
- Cómo encontrar el múltiplo común menor recorriendo la tabla del denominador más grande.
- Cuánto vale el entero que pedís prestado en una resta con números mixtos.
Preguntas para responder sin mirar
¿Por qué 1/2 + 1/3 no puede dar 2/5?
Porque 2/5 es menos que 1/2, y al sumar no podés terminar con menos de lo que tenías. Bien hecha, la cuenta da 5/6.
¿Qué es amplificar y por qué no cambia la cantidad?
Es multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Es como cortar cada pedazo en partes iguales: hay más pedazos, más chicos, y la misma cantidad.
¿Cuál es el múltiplo común menor de 6 y 8?
24. Tabla del 8: 8, 16, 24. El 24 es el primero que también está en la tabla del 6.
En 21/5 − 13/5, ¿cuánto vale el entero que pedís prestado? ¿Cuánto da?
Vale 5/5. 21/5 = 16/5, y 16/5 − 13/5 = 3/5.
¿Cuánta leche usó Tomi?
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 de taza. La servilleta estaba mal.
La próxima vez que veas fracciones con distinto denominador, acordate: antes de juntar, cortá parejo.