1¿El doble trae el doble?

Hay cantidades que viajan juntas: si cambia una, cambia la otra. Cuántos alfajores comprás y cuánto pagás. Cuántos pintores trabajan y cuántos días tardan. A qué velocidad va un micro y cuántas horas dura el viaje. A las cantidades que se pueden contar o medir las llamamos magnitudes.

Para descubrir cómo se relacionan dos magnitudes hay una pregunta que funciona como una lupa: si una se duplica, ¿qué le pasa a la otra? Probá con estos tres casos antes de seguir leyendo.

Esas son las tres respuestas posibles, y cada una tiene nombre:

Ojo con una idea que confunde: que las dos cantidades aumenten no alcanza. La altura de Lola aumenta con la edad y, sin embargo, no es proporcional. Para que sea directa tienen que aumentar en la misma proporción: el doble con el doble, el triple con el triple.

2Directa: al doble, el doble

En el kiosco de la escuela, cada alfajor cuesta $800. Si armamos una tabla con la cantidad de alfajores y el precio, aparecen las flechas que le dan nombre a esta relación:

Cuando la cantidad se multiplica por 2, el precio también se multiplica por 2. Y lo mismo pasa con el triple, con la mitad o con cualquier número: 10 alfajores cuestan 10 veces lo que cuesta uno. ¿Por qué? Porque cada alfajor cuesta lo mismo: 4 alfajores son $800 + $800 + $800 + $800.

El número que no cambia: cuánto vale uno

Ahora dividí cada precio por su cantidad de alfajores:

1.600 ÷ 2 = 8003.200 ÷ 4 = 8004.000 ÷ 5 = 8008.000 ÷ 10 = 800

¡Siempre 800! Es lo que vale un alfajor. A ese número fijo se lo llama constante de proporcionalidad, y es como la receta de la tabla: precio = cantidad × 800. Si lo conocés, cualquier fila sale con una sola multiplicación.

A la suma, la suma

Si 2 alfajores cuestan $1.600 y 3 alfajores cuestan $2.400, entonces 5 alfajores (2 + 3) cuestan $1.600 + $2.400 = $4.000. Juntar dos compras es sumar sus precios.

Cómo se ve en un gráfico

Dibujá cada fila de la tabla como un punto: la cantidad de alfajores hacia la derecha y el precio hacia arriba. Los puntos quedan en una misma recta que pasa por el (0; 0).

¿Por qué una recta? Porque cada alfajor de más suma siempre $800: es una escalera con todos los escalones iguales. ¿Y por qué pasa por el (0; 0)? Porque 0 alfajores cuestan $0. Las dos cosas juntas son la marca de la proporcionalidad directa.

3Cuatro caminos para completar una tabla

Si ya sabés que una relación es directa, completar la tabla es un juego de atajos. Usemos un caso de verdulería: 3 kg de naranjas cuestan $4.500.

La regla de tres es una cuenta, no un truco

Seguro escuchaste hablar de la regla de tres. No es magia: es pasar por la unidad, escrito en una sola cuenta. Mirá cómo se arma para 10 kg:

El «÷ 3» averigua cuánto vale 1 kg, y el «× 10» lo lleva a 10 kg. Por eso funciona… pero solo si la relación es directa. Con un taxi o con una oferta, la regla de tres da un resultado equivocado: lo vas a ver en el detector.

En la cocina: agrandar una receta

Una receta es una tabla escondida: si cocinás para el doble de personas, necesitás el doble de cada ingrediente. Probá con esta chocotorta para 8 porciones.Mirá cómo cambia esta chocotorta para 8 porciones.

¿Viste la última fila? El tiempo de heladera no se duplica: una chocotorta más grande no tarda el doble en ponerse firme. Hasta en una receta hay cosas que no son proporcionales.

4Inversa: más pintores, menos días

Volvamos a los pintores. A un pintor solo, pintar toda la escuela le lleva 12 días. Si son 2 pintores que trabajan al mismo ritmo, cada uno pinta la mitad: tardan 6 días. Si son 3, cada uno pinta un tercio: 4 días.

El número que no cambia: el producto

Multiplicá los dos números de cada fila: 1 × 12 = 12; 2 × 6 = 12; 3 × 4 = 12; 4 × 3 = 12. ¡Siempre 12! Ese 12 es el trabajo total: 12 días de trabajo de un pintor, que se reparten entre los que haya. Si conocés ese número, cualquier fila sale con una división: días = 12 ÷ pintores. Si hiciste la clase «Dividir es repartir en partes iguales», ya lo sabías: es repartir el mismo trabajo. (Algunos libros llaman a esta cuenta «regla de tres inversa»: primero multiplicás para saber el total y después lo repartís.)

La forma del rectángulo cambia, pero siempre tiene 12 cuadraditos. Y mirá las esquinas: no forman una recta, sino una curva que baja y se acerca cada vez más a los ejes, sin tocarlos. Es la forma de la proporcionalidad inversa en un gráfico.

Otras situaciones inversas

5El proporcionómetro: ¿es proporcional o no?

Hasta acá, todos los casos eran proporcionales. Pero muchísimas situaciones no lo son, y el error más común de todo este tema es suponer que todo es proporcional. Antes de usar dobles, mitades o la regla de tres, hacé estas cuatro pruebas:

Estas son las formas que vas a ver en el detector:

Ahora, a probar. El detector trae seis casos. En cada uno: completá la tabla, cargala, mirá qué dicen las pruebas y decidí qué tipo de relación es.

Cuatro errores que el detector atrapa