3.º añoMatemáticaFunciones

¿Cuánto sale el viaje?

Un taxi te cobra un monto fijo apenas subís y después un tanto por cada kilómetro. Con esos dos números se arma una recta que predice cualquier viaje. Al terminar vas a poder dibujarla, leerla y decidir qué tarifa te conviene.

Ilustración de un taxi negro con techo amarillo que sube de noche por una avenida recta en diagonal. A lo largo de la avenida hay faroles separados a distancias iguales.
Una avenida recta y faroles a distancias iguales: cada tramo igual sube lo mismo. Así se ve una función lineal.

Antes de arrancar: tu apuesta

Volvés de un cumple que queda a 6 km. Tenés dos opciones. ¿Cuál te sale más barata?

Taxi

Bajada de bandera$3.000

Cada kilómetro$1.000

App de viajes

Tarifa base$1.000

Cada kilómetro$1.500

Precios de ejemplo, redondeados para que las cuentas salgan fáciles.

A cada x, una sola y

La idea

Pensá el taxímetro como una máquina: le entra un dato, los kilómetros que hiciste, y le sale otro, lo que pagás.

La tarifa como máquina: entra x igual a 2 kilómetros, la regla multiplica por 1.000 y suma 3.000, y sale y igual a 5.000 pesos.entra x2 kmREGLA× 1.000+ 3.000sale y$5.000
Con 2 km: 2 · 1.000 + 3.000 = 5.000. Entra un número, sale uno solo.

Para cada distancia hay un solo precio: ningún taxímetro te dice «son $5.000 o $8.000, según cómo me levanté». Eso es una función: una regla que a cada valor de entrada le asigna exactamente un valor de salida.

  • x es la variable independiente: la que elegís vos (los kilómetros).
  • y es la variable dependiente: la que resulta (el precio). Depende de x.

A veces, en lugar de y se escribe f(x), que se lee «efe de equis». Por ejemplo, f(2) = 5.000 quiere decir: «si x vale 2, y vale 5.000».

Dos diagramas de flechas. A la izquierda, sí es función: 1 va a 4, 2 va a 7 y 3 también va a 7. A la derecha, no es función: 1 va a 4 y el 2 sale hacia dos valores, 7 y 9.xy12347xy12479Sí es funciónNo es función
A la izquierda, el 2 y el 3 van al mismo 7, y eso está permitido. A la derecha, el 2 tiene dos salidas: eso no.

Ojo con esta trampa

Que dos x distintas den la misma y no rompe nada: dos amigos pueden cumplir años el mismo día. Lo prohibido es que una misma x tenga dos y.

En un gráfico se nota con la prueba de la vertical: si alguna recta vertical corta el dibujo en más de un punto, para esa x hay más de una y, y entonces no es función.

Probá vos · 1

¿Es función? Respondé sí o no en cada tarjeta.

a Kilómetros de un viaje → lo que marca el taxímetro al llegar.

b Cada chico del curso → su fecha de cumpleaños.

c Cada línea de colectivo → las paradas donde frena.

d Esta tabla:
x1223
y57911

eUna circunferencia.

fLa temperatura a lo largo de un día.

m y b: los dos números que mandan

De la ecuación a la función

En 1.º año resolviste ecuaciones como 1.000x + 3.000 = 9.000: ahí la x es un número escondido (el 6). En una función, la x es un número que se mueve: vale 1, 2 o 7,5, y para cada valor la fórmula te da su y.

La tarifa del taxi es y = 1.000x + 3.000. Todas las funciones lineales tienen esa misma forma:

y = m·x + b

b ordenada al origen

Es lo que vale y cuando x = 0. En el taxi, los $3.000 de la bajada de bandera: lo que pagás con 0 km. En el gráfico, es donde la recta corta el eje y.

m pendiente

Es cuánto cambia y cuando x aumenta 1. En el taxi, $1.000 más por cada kilómetro. En el gráfico, es el escalón: avanzás 1 hacia la derecha y subís m.

Gráfico de la tarifa del taxi. La recta arranca en 3.000 pesos sobre el eje y, que es la bajada de bandera, y por cada kilómetro sube un escalón de 1.000 pesos.0123456km2.0004.0006.0008.00010.000precio ($)+1 km+$1.000b = 3.000lo que pagás con 0 kmy = 1.000x + 3.000
La recta arranca en la bajada de bandera y sube el mismo escalón por cada kilómetro: todos los escalones son iguales.
¿Por qué se dice «bajada de bandera»?

Los taxímetros mecánicos de antes tenían arriba una banderita de metal. Con el taxi libre, la bandera estaba levantada; cuando subía un pasajero, el chofer la bajaba con una palanca y el reloj arrancaba con el primer importe. Hoy los taxímetros son digitales, pero el nombre quedó.

Laboratorio de rectas

Mové los deslizadores y mirá qué cambia en la fórmula, en la tabla y en el gráfico (y qué no cambia).

2
1

x
y
salto

Probá estas:

En pantalla, este gráfico tiene deslizadores para cambiar m y b. Acá quedó impresa la recta y = 2x + 1: arranca en 1 sobre el eje y y sube 2 por cada 1 que avanza x.

Lo que tenías que descubrir

  • Si movés b, la recta sube o baja entera, sin girar: la inclinación no cambia.
  • Si movés m, la recta gira alrededor del punto (0; b), que queda quieto.
  • En la tabla, de una columna a la siguiente siempre se suma lo mismo: m. Por eso los escalones son iguales y el gráfico es una recta.

Tres pendientes, tres historias

m positiva: sube

Taxi: cada kilómetro suma $1.000.
y = 1.000x + 3.000

m negativa: baja

Saldo de la SUBE: arranca en $6.000 y cada viaje descuenta $600.
y = −600x + 6.000

m = 0: horizontal

Abono fijo de internet: $15.000 por mes, uses lo que uses.
y = 15.000

Error típico

«Una pendiente negativa no existe en la vida real.»

Existe, y la ves todos los días: el saldo de la SUBE baja con cada viaje, un tanque se vacía, la nafta baja con los kilómetros, la temperatura baja a medida que subís una montaña. Una pendiente negativa es algo que disminuye a ritmo parejo.

Error típico

«En y = 5 + 3x, la pendiente es 5 porque está primero.»

La pendiente es el número que multiplica a la x, esté donde esté. El que va solo es b. En y = 5 + 3x: m = 3 y b = 5.

Probá vos · 2

¿Quién es m y quién es b?

y = 5 + 3x

y = 4 − x

y = −2x

y = 7

Cuatro idiomas para una misma recta

Una función lineal se puede contar de cuatro maneras: con palabras (la situación), con una tabla, con una fórmula o con un gráfico. Las cuatro dicen lo mismo, y saber pasar de una a otra es la mitad de este tema.

Ejemplo resuelto: el tanque

Situación

Un tanque tiene 100 litros. Prendés la bomba y entran 50 litros por minuto.

Contá minuto a minuto

Tabla

t01234
V100150200250300

t en minutos · V en litros

Buscá el valor en 0 y lo que se suma

Fórmula

V = 50·t + 100

Marcá b y repetí el escalón

Gráfico

100600010t (min)
Leé y respondé
una misma función
  1. Situación → tabla. En el minuto 0 hay 100 L; cada minuto, 50 más.
  2. Tabla → fórmula. 100 es b porque es lo que hay en el minuto 0; 50 es m porque es lo que se suma cada minuto. Las letras pueden ser t y V: el nombre no importa.
  3. Fórmula → gráfico. Marcá 100 en el eje vertical y desde ahí repetí el escalón: 1 minuto a la derecha, 50 arriba. Con dos puntos trazás la recta; un tercero sirve de control.
  4. Gráfico → situación. ¿Cuándo llega a 600 litros? Buscá 600, andá hasta la recta y bajá: 10 minutos. Con la fórmula: 600 = 50t + 100 → 500 = 50t → t = 10.

Error típico: escalas desparejas

Otra tabla del mismo tanque: t = 0, 1, 2, 4, 8 y V = 100, 150, 200, 300, 500. Si ponés esos valores de t uno al lado del otro, todos a la misma distancia, el dibujo se dobla:

Gráfico mal hecho: en el eje horizontal, 0, 1, 2, 4 y 8 están a la misma distancia, y los puntos forman una curva que se dobla hacia arriba.01248100300500t (min)
Mal: en el eje horizontal los saltos son 1, 1, 2 y 4. La «recta» se dobla.
Gráfico bien hecho: el eje horizontal va de 1 en 1 de 0 a 8, y los mismos cinco puntos quedan alineados sobre una recta.012345678100300500t (min)
Bien: de 1 en 1, siempre parejo. Los mismos puntos quedan alineados.

Cada eje puede tener su propia escala (acá, un cuadradito horizontal es 1 minuto y uno vertical, 100 litros), pero dentro de cada eje los saltos tienen que ser parejos. Si no, la recta se tuerce y el gráfico miente.

Probá vos · 3

Cada situación tiene su gráfico. ¿Cuál es cuál?

06.00010A
06.00010B
06.00010C

1. La SUBE: cargaste $6.000 y cada viaje te descuenta $600.

2. Un plan de celular: $6.000 de abono y $600 por cada GB extra.

3. Una pileta arranca vacía y la manguera le carga 600 litros por hora.

Probá vos · 4

¿Verdadero o falso? ¿Por qué?

«Si en el eje x cada cuadradito vale 1 km y en el eje y cada cuadradito vale $1.000, el gráfico está mal hecho.»

Dos puntos alcanzan

El misterio de los tickets

Encontrás dos tickets viejos del mismo taxi, pero sin la tarifa. Uno dice 2 km, $5.000; el otro, 6 km, $9.000. ¿Se puede averiguar la bajada de bandera y el precio por kilómetro? Sí: por dos puntos pasa una sola recta, así que con dos tickets alcanza.

Los dos tickets como puntos: A (2; 5.000) y B (6; 9.000). Entre ellos, un triángulo: avanza 4 kilómetros y sube 4.000 pesos. La recta, estirada hacia atrás, corta el eje y en 3.000.01234567km2.0004.0006.0008.00010.000Δx = 4 kmΔy = $4.000ABb = 3.000
Los tickets son los puntos A(2; 5.000) y B(6; 9.000). El triangulito entre ellos da la pendiente; la recta, estirada hasta x = 0, muestra la bajada de bandera.

Paso 1: la pendiente

De A a B, x avanzó 6 − 2 = 4 km y el precio subió 9.000 − 5.000 = 4.000 pesos. Si en 4 km subió $4.000, en cada kilómetro subió 4.000 : 4 = 1.000. Esa es la pendiente, y se calcula siempre así:

m = ΔyΔx = y2 − y1x2 − x1

m = 9.000 − 5.0006 − 2 = 4.0004 = 1.000

Δ es la letra griega delta y se usa para decir «cuánto cambió»: Δy es cuánto cambió y; Δx, cuánto cambió x.

Paso 2: la ordenada al origen

Ya sabés que la fórmula es y = 1.000x + b. Elegí uno de los tickets, por ejemplo A(2; 5.000), y reemplazá:

5.000 = 1.000 · 2 + bpongo x = 2 e y = 5.000

5.000 = 2.000 + bresuelvo la multiplicación

5.000 − 2.000 = bel 2.000 pasa restando

b = 3.000la bajada de bandera

Paso 3: controlá con el otro punto

Con B: 1.000 · 6 + 3.000 = 9.000. ¡Coincide con el segundo ticket! La tarifa es y = 1.000x + 3.000: el taxi del principio.

La pendiente de las rutas. Un cartel de «pendiente 8 %» en la montaña quiere decir que por cada 100 m que avanzás en horizontal subís (o bajás) 8: Δy : Δx = 8 : 100. La misma idea.

Error típico

«m = Δx : Δy»

Dada vuelta da (6 − 2) : (9.000 − 5.000) = 0,001: ¡un taxi que cobra un milésimo de peso por kilómetro! Lo vertical va arriba: Δy (lo que sube o baja) sobre Δx (lo que avanza).

Y restá en el mismo orden arriba y abajo. Si mezclás, (5.000 − 9.000) : (6 − 2) da −1.000 y el signo queda mal.

Ejemplo resuelto: cuando baja

Encontrá la recta que pasa por (1; 10) y (4; 1).

m = 1 − 104 − 1 = −93 = −3

¿Negativa? Claro: x aumentó pero y bajó. Ahora la ordenada, con el punto (1; 10):

10 = −3 · 1 + breemplazo x = 1 e y = 10

10 = −3 + bresuelvo −3 · 1

10 + 3 = bel −3 pasa sumando

b = 13control: −3 · 4 + 13 = 1

La recta es y = −3x + 13.

Probá vos · 5

Calculá la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. Podés escribir decimales con coma o fracciones como 3/2.

a) A(1; 2) y B(3; 8)

b) A(−2; 5) y B(2; −3)

Probá vos · 6

Encontrá la fórmula de la recta que pasa por A(1; 4) y B(3; 0).

y =x +

Probá vos · 7 · Desafío

Hacé que la recta pase por los puntos A y B. Primero pensá la inclinación; después, la altura.

1
0

Desafíos (calculá m y b de la recta que pasa por A y B):

  1. A(0; 2) y B(1; 5)
  2. A(−2; 4) y B(2; 0)
  3. A(−2; 0) y B(2; 2)
  4. A(−4; −3) y B(3; −3)
  5. A(1; −1) y B(2; −3)
  6. A(−1; −4) y B(2; 2)

¿Dónde toca el piso? La raíz

La raíz (o cero) de una función es el valor de x que hace que y valga 0. En el gráfico, es donde la recta corta el eje x. Fijate el cruce de roles: para la ordenada al origen ponés x = 0; para la raíz, ponés y = 0.

El saldo de la SUBE: la recta arranca en 6.000 pesos y baja 600 por viaje hasta tocar el eje x en 10 viajes, que es la raíz. Después sigue punteada por debajo del eje: saldo negativo.24681210viajes−1.00002.0004.0006.000saldo negativo+1−600raízb = 6.000
El saldo de la SUBE arranca en $6.000 y baja $600 por viaje. Toca el eje x en 10 viajes: esa es la raíz. Lo punteado es el saldo negativo.

Ejemplo resuelto: la SUBE

El saldo es S = −600v + 6.000, donde v es la cantidad de viajes. ¿Después de cuántos viajes queda en cero?

0 = −600v + 6.000busco cuándo el saldo es 0: pongo S = 0

600v = 6.000el −600v pasa al otro lado sumando

v = 6.000 : 600el 600 multiplica a v: pasa dividiendo

v = 10control: −600 · 10 + 6.000 = 0

Con 10 viajes, saldo cero. La SUBE te deja viajar con un poco de saldo negativo: ahí la recta sigue por debajo del eje x.

Error típico: los signos al despejar

«y = 2x − 6. Pongo 0 = 2x − 6, entonces 2x = −6 y x = −3.»

El −6 pasó al otro lado sin cambiar de signo. Bien hecho: 0 = 2x − 6 → 6 = 2x → x = 3. Controlá siempre reemplazando: 2 · 3 − 6 = 0, pero 2 · (−3) − 6 = −12.

Una pista rápida: si la recta sube (m positiva) y arranca debajo del eje x (b negativa), tiene que cortar el eje a la derecha: la raíz es positiva.

Hay un atajo: x = −b : m (si m no es 0). Sirve para controlar, pero aprendé el procedimiento: usado sin entender, el atajo es una fábrica de errores de signo.

Dos casos especiales: si m = 0 y b no es 0, la recta es horizontal y nunca toca el eje x: no tiene raíz. Si b = 0, la recta pasa por el origen y la raíz es x = 0.

Probá vos · 8

¿Dónde corta el eje x? Escribí la raíz.

a) y = −2x + 8

b) y = 3x + 6

c) Un tanque de 600 litros se vacía a razón de 20 litros por minuto: V = −20t + 600. ¿En cuántos minutos queda vacío?

minutos

El duelo: taxi contra app

Volvamos a la apuesta: dos tarifas son dos rectas. Antes del duelo, una pregunta: ¿dos rectas siempre se cruzan?

Paralelas: las que nunca empatan

Dos taxis cobran $1.000 por kilómetro, uno con bajada de $3.000 y otro de $2.000. Suben al mismo ritmo, así que la diferencia de $1.000 se mantiene siempre: nunca empatan. Sus rectas son paralelas: misma pendiente, distinta ordenada al origen. (Con la misma b, serían la misma recta.)

Extra: perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares (se cortan en ángulo recto) cuando sus pendientes son inversas y opuestas. Si una tiene m = 2, la otra tiene m = −½, y multiplicadas dan −1: 2 · (−½) = −1. ¿Por qué? Si girás un cuarto de vuelta el escalón «1 a la derecha, 2 arriba», queda «2 a la derecha, 1 abajo»: pendiente −½.

Dos rectas paralelas con pendiente un medio: una corta el eje y en 3 y la otra en 1. Las dos tienen el mismo escalón: 2 a la derecha y 1 arriba.+2+1+2+113
Paralelas: el mismo escalón en las dos. Nunca se cruzan.
Dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto (2; 4). Una tiene pendiente 2: escalón de 1 a la derecha y 2 arriba. La otra tiene pendiente menos un medio: escalón de 2 a la derecha y 1 abajo. Es el mismo escalón girado un cuarto de vuelta.1221m = 2m = −½
Perpendiculares: el escalón «1 y 2» girado queda «2 y 1» (y cambia de signo). Se ve en ángulo recto solo si los dos ejes usan la misma escala.

Probá vos · 9

¿Cuál es paralela a y = 2x + 1?

¿Y cuál es perpendicular a y = 2x + 1?

El duelo

Taxi: y = 1.000x + 3.000. App: y = 1.500x + 1.000. Mové la distancia y mirá los dos taxímetros.

Taxi

$9.000

App

$10.000

6 km
Gráfico del duelo. La recta del taxi arranca en 3.000 y la de la app en 1.000, pero la de la app es más empinada. Se cruzan en el punto (4; 7.000). Antes de los 4 kilómetros conviene la app; después, el taxi.0246810distancia (km)4.0008.00012.00016.000gana la appgana el taxi(4; 7.000)TaxiApp

Con 6 km conviene el taxi: ahorrás $1.000.

Al principio no apostaste. Elegí una opción arriba y volvé.

El punto de encuentro, con cuentas

Los dos cobran lo mismo cuando sus fórmulas dan igual. Entonces, igualá:

1.000x + 3.000 = 1.500x + 1.000taxi = app

3.000 − 1.000 = 1.500x − 1.000xnúmeros de un lado, x del otro

2.000 = 500xresto

x = 4el 500 pasa dividiendo

Con x = 4: 1.000 · 4 + 3.000 = 7.000. El punto de encuentro es (4; 7.000): con 4 km los dos cobran $7.000. Antes, la recta de la app va por debajo: conviene la app. Después, la del taxi va por debajo: conviene el taxi.

¿Por qué se dan vuelta? La app arranca $2.000 más barata, pero cobra $500 más por kilómetro: esa ventaja se gasta en 2.000 : 500 = 4 km.

Probá vos · 10

Plan A: $9.000 por mes y $300 por cada GB extra. Plan B: $6.000 por mes y $800 por cada GB extra.

a) ¿Con cuántos GB extra pagan lo mismo?

GB

b) Si usás 10 GB extra por mes, ¿qué plan te conviene?

Desafío final y machete

Desafío final · 11

Unos andinistas suben un cerro en Mendoza y miden la temperatura: a 1 km de altura hay 18 °C y a 3 km, 6 °C. Supongamos que baja de manera pareja (es un modelo: en la realidad también influyen el viento, el sol y la sombra). Usá h para la altura en km y T para la temperatura.

a) ¿Cuánto cambia la temperatura por cada kilómetro que suben?

°C por km

b) ¿Qué temperatura da el modelo a 0 km de altura?

°C

c) ¿A qué altura el modelo marca 0 °C?

km

Machete de la función lineal

La forma

y = m·x + b

m, pendiente: cuánto cambia y cuando x aumenta 1.
b, ordenada al origen: cuánto vale y cuando x = 0 (corte con el eje y).

Pendiente con dos puntos

m = y2 − y1x2 − x1

Lo vertical va arriba. Mismo orden arriba y abajo.

El signo de la pendiente

  • m > 0: sube
  • m < 0: baja
  • m = 0: horizontal

La recta por dos puntos

  1. Calculá m con Δy : Δx.
  2. Reemplazá un punto y despejá b.
  3. Controlá con el otro punto.

La raíz

Poné y = 0 y despejá x. Para controlar: x = −b : m. Si m = 0 y b no es 0, no hay raíz.

Dos rectas

Paralelas: misma m.
Perpendiculares: m1 · m2 = −1.
Punto de encuentro: igualá las fórmulas.

Sin mirar

Tapá el machete, respondé en voz alta o en la carpeta y después abrí cada respuesta.

1. ¿Qué significa la b en la tarifa de un taxi y dónde se ve en el gráfico?

Es la bajada de bandera: lo que pagás con 0 km. En el gráfico, es donde la recta corta el eje y.

2. Una recta pasa por (0; 4) y (2; 0). ¿Cuál es su pendiente y cuál es su raíz?

m = (0 − 4) : (2 − 0) = −2. La raíz es x = 2, porque ahí y vale 0.

3. ¿Por qué una pendiente negativa tiene sentido en la vida real?

Porque muchas cosas disminuyen a ritmo parejo: el saldo de la SUBE con cada viaje, el agua de un tanque que se vacía, la temperatura al subir una montaña.

4. ¿Cómo sabés, sin graficar, si dos rectas son paralelas?

Si tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

5. Dos tarifas se cruzan en (4; 7.000). ¿Qué te dice ese punto?

Que con 4 km las dos cuestan $7.000. Antes conviene la que arranca más barata; después, la de menor pendiente.

Respuestas

  • Apuesta: con 6 km conviene el taxi ($9.000 contra $10.000).
  • 1. a) función; b) función (repetir una y está permitido); c) no es función; d) no es función (el 2 tiene dos y); e) no es función (una vertical la corta dos veces); f) función (es curva, pero cada vertical la corta una vez).
  • 2. y = 5 + 3x: m = 3, b = 5. y = 4 − x: m = −1, b = 4. y = −2x: m = −2, b = 0. y = 7: m = 0, b = 7.
  • 3. SUBE: B. Plan de celular: C. Pileta: A.
  • 4. Falso: cada eje puede tener su escala, siempre que sea pareja dentro del eje.
  • 5. a) m = 3; b) m = −2.
  • 6. y = −2x + 6.
  • 7. 1) y = 3x + 2; 2) y = −x + 2; 3) y = 0,5x + 1; 4) y = −3; 5) y = −2x + 1; 6) y = 2x − 2.
  • 8. a) x = 4; b) x = −2; c) 30 minutos.
  • 9. Paralela: y = 2x − 5. Perpendicular: y = −0,5x + 3.
  • 10. a) 6 GB extra (los dos pagan $10.800); b) Plan A ($12.000 contra $14.000).
  • 11. a) m = −6 °C por km; b) b = 24 °C; c) h = 4 km (4.000 m). La fórmula es T = −6h + 24.