Matemática · 1.º año
¿Cuánto pesa la caja?
En el mostrador del almacén hay una balanza de dos platos, quieta, perfectamente equilibrada. En un plato: tres cajas cerradas, iguales, y cinco pesas de un kilo. En el otro: 26 kilos justos. Nadie puede abrir las cajas. ¿Cuánto pesa cada una?
Eso es una ecuación: una igualdad con un número escondido. En esta clase vas a aprender a encontrarlo sin adivinar, y a estar seguro de que lo encontraste.
- Resolver ecuaciones haciendo lo mismo en los dos miembros, y entender por qué funciona el atajo de «pasar».
- Sacar paréntesis y trabajar con fracciones sin perder ningún signo.
- Convertir un problema en una ecuación y verificar que la respuesta tiene sentido.
Una igualdad con una caja cerrada
Volvamos a la balanza del almacén, dibujada solo con lo que importa. Las cajas pesan lo mismo, pero no sabemos cuánto: a ese número desconocido lo llamamos x. Tres cajas pesan 3x (tres veces x) y las cinco pesas, 5 kilos. Como la balanza está en equilibrio, los dos platos pesan lo mismo.
Ecuación
Una igualdad en la que hay un número desconocido, la incógnita. Es una balanza en equilibrio con cajas cerradas.
Solución
El número que, puesto en lugar de la incógnita, hace verdadera la igualdad. La de 3x + 5 = 26 es 7, porque 3 · 7 + 5 = 26.
De primer grado
La incógnita aparece con exponente 1: x, nunca x2. Estas ecuaciones tienen, casi siempre, una sola solución.
Las partes de una ecuación
Cada parte que se suma o se resta es un término: en el primer miembro hay dos, 3x y 5. El coeficiente es el número que multiplica a la incógnita.
Ojo: 3x no es 3 + x
3x quiere decir 3 · x: tres cajas. En cambio, 3 + x son tres pesas y una sola caja. Y una x sola es 1x: una caja (el 1 no se escribe).
Probá antes de calcular
La balanza de verdad está en equilibrio. Suponé un peso para cada caja y mirá qué pasaría: si con tu número la balanza se inclina, ese número no es la solución.
Si cada caja pesara4 kilos
3 · 4 + 5 = 17
Con 4 kilos por caja, el primer miembro vale 17: le faltan 9 para llegar a 26. La balanza se inclinaría hacia el lado de los 26 kilos.
| x | 3x + 5 | ¿Da 26? |
|---|---|---|
| 5 | 20 | no, falta |
| 6 | 23 | no, falta |
| 7 | 26 | sí: es la solución |
| 8 | 29 | no, se pasa |
Probar sirve para entender qué es una solución, pero si la caja pesara 128 kilos, o dos kilos y medio, te pasarías la tarde probando. Hace falta un método que no dependa de la suerte, y te lo da la misma balanza.
La balanza no miente
Una balanza en equilibrio es una igualdad. ¿Qué le podés hacer sin que se incline? La respuesta es la idea más importante de toda la clase:
Lo que hacés en un plato, lo hacés en el otro.
Si sacás lo mismo de los dos platos, siguen pesando lo mismo. Si dejás la mitad de cada plato, también. Pero si tocás un solo plato, la balanza se inclina y la igualdad se rompe.
Laboratorio: abrí la caja sin abrirla
Tu misión: dejar una caja sola en un plato y solo pesas en el otro. Si sacás algo de un solo plato, la balanza se inclina: hacé lo mismo en el otro y vuelve al equilibrio. Cada ecuación equilibrada se anota en la carpeta.
Desafío
x + 3 = 8
caja = x kilos pesa = 1 kilo
Plato izquierdo
Plato derecho
Repartir los dos platos en partes iguales y quedarte con una:
La balanza está en equilibrio. Empezá por el plato que quieras.
Carpeta
- x + 3 = 8
En papel: dibujá la balanza de cada desafío (1: x + 3 = 8 · 2: 2x + 1 = 9 · 3: 3x + 2 = x + 8 · 4: 4x + 3 = x + 9) y tachá lo que sacás, siempre de los dos platos a la vez.
Las reglas de la igualdad
- Podés sumar o restar el mismo número en los dos miembros.
- Podés multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número, siempre que no sea 0.
¿Por qué no por 0? Multiplicar por 0 deja 0 = 0, que es cierto pero borra la información de la caja. Y dividir por 0 no se puede.
La balanza tiene un límite: no existen pesas negativas, así que no sirve para dibujar x − 3 = 5. Pero la regla funciona igual: sumás 3 en los dos miembros y queda x = 8.
Desarmar la cuenta
Pensá cómo se armó 3x + 5. Al número escondido le hicieron dos cosas: primero lo multiplicaron por 3 y después le sumaron 5. Para encontrarlo hay que deshacer esas operaciones en orden inverso, como cuando te sacás las zapatillas antes que las medias.
Cada operación tiene su inversa, la que la deshace: la suma se deshace restando, la resta sumando, la multiplicación dividiendo y la división multiplicando. En la ecuación, cada paso se hace en los dos miembros, como en la balanza.
Verifico 3 · 7 + 5 = 21 + 5 = 26. Da 26: la balanza cierra.
¿Por qué primero el 5? Porque fue lo último que se hizo. Si dividieras primero por 3, tendrías que dividir todo el primer miembro, también el 5, y aparecerían fracciones sin necesidad.
El atajo de «pasar», explicado
Seguro escuchaste «el 5 pasa restando». No es una regla mágica: es lo que se ve cuando hacés la misma operación en los dos miembros. De un lado el número se anula, y del otro aparece con la operación contraria.
x + 4 = 10
restás 4 en los dos miembros
x = 10 − 4
lo que suma pasa restando
x − 4 = 10
sumás 4 en los dos miembros
x = 10 + 4
lo que resta pasa sumando
4x = 20
dividís por 4 los dos miembros
x = 20 : 4
lo que multiplica pasa dividiendo
x : 4 = 5
multiplicás por 4 los dos miembros
x = 5 · 4
lo que divide pasa multiplicando
Dos trampas del atajo
El número cruza el igual con la operación contraria: en x + 7 = 15 queda x = 15 − 7, no 15 + 7. Y lo que multiplica pasa dividiendo a todo el otro miembro. Si dudás, volvé a la balanza: escribí la operación en los dos miembros.
Cajas en los dos platos
En 5x − 4 = 2x + 11 hay incógnita de los dos lados. Primero juntá las cajas en un solo miembro. Conviene sacarlas del lado que tiene menos (acá, restar 2x): así el coeficiente queda positivo.
Verifico 5 · 5 − 4 = 21 y 2 · 5 + 11 = 21. Los dos miembros valen 21.
Cuando la x resta: 5 − x = 2
Esta es tramposa. Primero pensala con sentido común: ¿a 5 qué le tenés que sacar para que queden 2? Tres. Con la balanza: sumá x en los dos miembros, así la incógnita queda sumando.
Verifico 5 − 3 = 2. Correcto.
El error clásico
Escribir x = 2 − 5 = −3. Verificá: 5 − (−3) = 8, no 2. El menos era de la x: −x = 2 − 5 = −3, y si el opuesto de x es −3, entonces x = 3.
El sello final: verificar
Reemplazá la x por tu resultado en la ecuación original (un paso intermedio puede tener el error) y calculá cada miembro por separado. Si dan lo mismo, está bien; si no, hay un error en algún paso. Son treinta segundos que te salvan.
Paréntesis y fracciones sin miedo
El de afuera multiplica a todos los de adentro
En 3(x + 4), el 3 multiplica a toda la suma. Es la propiedad distributiva, y se ve clarísima en un rectángulo de 3 de alto y x + 4 de ancho: su área es la suma de dos pedazos.
El error frecuente es escribir 3x + 4: el 3 llegó a la x pero se olvidó del 4. Si lo dudás, probá con un número: con x = 1, 3(1 + 4) = 15, y 3 · 1 + 12 = 15, pero 3 · 1 + 4 = 7.
Si adelante hay un menos
Cada término de adentro se multiplica con su signo: −2(x − 3) = −2x + 6, porque menos por menos da más. Si los signos te traban, repasá la regla en la clase «Números enteros» de 1.º año de esta biblioteca.
Verifico 4 · (7 − 2) = 20 y 2 · 7 + 6 = 20.
Coeficientes y fracciones
Las fracciones se deshacen igual que todo lo demás: con la operación inversa, en los dos miembros. Y si hay varias, conviene multiplicar todo por un número que las haga desaparecer.
x4 + 3 = 8
Restás 3: x4 = 5. La x está dividida por 4: multiplicás por 4 y x = 20.
20 : 4 + 3 = 8
23x = 10
«Dos tercios de x es 10». Multiplicás por 3: 2x = 30. Dividís por 2: x = 15.
15 : 3 · 2 = 10
x2 + x3 = 10
Multiplicás cada término por 6 (múltiplo de 2 y de 3), también el 10: 3x + 2x = 60. Entonces 5x = 60 y x = 12.
12 : 2 + 12 : 3 = 6 + 4 = 10
Cuando las cajas desaparecen
A veces, al juntar las x, se borran todas. Puede pasar algo muy distinto en cada caso:
Sin solución
2x + 3 = 2x + 7. Restás 2x y queda 3 = 7: falso. Es 0x = 4, y ningún número por 0 da 4. Ninguna caja equilibra esa balanza.
Infinitas soluciones
3(x + 2) = 3x + 6. Distribuís y los dos miembros quedan iguales: restando 3x queda 6 = 6, o sea 0x = 0. Cualquier número sirve.
Detector de errores
Cinco compañeros resolvieron ecuaciones y a cada uno se le coló un error. Tocá el renglón donde aparece el error por primera vez. Ojo: a veces la cuenta está bien hecha y lo que falla es el paso.
Carpeta de Benja
Pasó sin cambiar la operación
El 7 está sumando: para deshacerlo, se resta 7 en los dos miembros. Queda x = 15 − 7 = 8. La verificación lo habría delatado: 22 + 7 = 29, no 15.
Carpeta de Juli
Dividió un solo término
Al dividir por 2, Juli dividió el 2x y el 10, pero no el 6. Dividir un miembro es dividirlo entero: (2x + 6) : 2 = x + 3. Queda x + 3 = 5 y x = 2. Más fácil: primero restar 6 (2x = 4) y después dividir. Verificación de −1: 2 · (−1) + 6 = 4, no 10.
Carpeta de Nico
Se comió un signo
El −2 multiplica a la x y al −3: −2 · (−3) = +6. Lo correcto es 10 − 2x + 6 = 4, o sea 16 − 2x = 4. Sumás 2x y restás 4 en los dos miembros: 12 = 2x, entonces x = 6. Verificación de 0: 10 − 2 · (0 − 3) = 16, no 4.
Carpeta de Cami
Perdió el menos de la x
Al restar 7 en los dos miembros queda −x = 10 − 7 = 3, no x = 3. Si el opuesto de x es 3, entonces x = −3. Verificación de 3: 7 − 3 = 4, no 10. Con −3 sí: 7 − (−3) = 10. Una solución puede ser negativa.
Carpeta de Fede
Restó lo que multiplicaba
En 3x, el 3 multiplica a la x: se deshace dividiendo los dos miembros por 3. Queda x = 15 : 3 = 5. Verificación de 12: 3 · 12 + 4 = 40, no 19.
Fijate en el patrón: en las cinco carpetas, la verificación habría encendido la alarma. Ninguno de estos errores sobrevive si reemplazás el resultado en la ecuación original.
Del enunciado a la ecuación
Muchos problemas son ecuaciones disfrazadas de oraciones. Traducir es elegir una letra para lo que no sabés y escribir en símbolos lo que dice cada pedazo de la frase. Tocá cada pedazo:
3x + 5 = 26
3(x + 5) = 36
Tocá un pedazo de cualquiera de las dos frases para ver su traducción.
Las dos ecuaciones tienen la misma solución, 7: 3 · 7 + 5 = 26 y 3 · (7 + 5) = 36. Mismo número, otra frase, otra ecuación: el paréntesis cambia todo.
Diccionario de bolsillo
| En castellano | En matemática |
|---|---|
| un número | x |
| el doble / el triple de un número | 2x / 3x |
| la mitad / la tercera parte | x2 / x3 |
| el siguiente / el anterior | x + 1 / x − 1 |
| aumentado en 4 / disminuido en 4 | + 4 / − 4 |
| la suma del doble de un número y 3 | 2x + 3 |
| el doble de la suma de un número y 3 | 2(x + 3) |
| es, da, resulta, equivale a | = |
Elegí la ecuación
ASi al doble de un número le restás 4, obtenés 18.
BTres números consecutivos suman 81.
CLa mitad de un número, más 7, es igual al número menos 3.
Problemas de verdad, en cuatro pasos
Lola y su mamá
La mamá de Lola tiene el triple de la edad de Lola. Entre las dos suman 52 años. ¿Cuántos años tiene cada una?
- Busco las dos edades.
- Llamo x a la edad de Lola; la mamá tiene 3x.
- Planteo: x + 3x = 52.
- Resuelvo: 4x = 52, x = 13, y la mamá, 3 · 13 = 39. Verifico: 13 + 39 = 52 y 39 es el triple de 13.
Respuesta: Lola tiene 13 años y su mamá, 39.
El tanque que pierde
Un tanque tiene 120 litros de agua y, por una pérdida, se vacía 8 litros por hora. ¿Después de cuántas horas le quedan 40 litros?
- Busco las horas.
- Llamo x a las horas: en x horas pierde 8x litros.
- Planteo: 120 − 8x = 40.
- Resuelvo: sumo 8x y resto 40 en los dos miembros: 80 = 8x, x = 10. Verifico: 120 − 8 · 10 = 40.
Respuesta: le quedan 40 litros después de 10 horas.
Respondé con una oración. «x = 13» no contesta lo que te preguntaron, y la respuesta tiene que tener sentido: una edad no puede ser negativa ni una cantidad de personas, 7,5.
Taller final y resumen
Diez cajas para abrir, de menor a mayor dificultad. Resolvé en la carpeta, escribí solo el número y comprobá. Si no sale, pedí una pista antes de rendirte.
1Resolvé: x + 9 = 23
Pista: el 9 está sumando a la x. ¿Qué operación lo deshace? Hacela en los dos miembros.
2Resolvé: 4x = 28
Pista: 4x es 4 · x. Lo que deshace un «por 4» es dividir por 4, en los dos miembros.
3Resolvé: 9 − x = 4
Pista: ¿a 9 qué le sacás para que queden 4? O sumá x en los dos miembros, así la incógnita queda sumando.
4Resolvé: x5 − 2 = 4
Pista: primero deshacé el − 2, que fue lo último que se hizo. Después, la x está dividida por 5: ¿qué operación lo deshace?
5Resolvé: 7x − 4 = 3x + 16
Pista: juntá las cajas restando 3x en los dos miembros. Después deshacé el − 4.
6Resolvé: 3(x − 2) = 15
Pista: hay dos caminos. Distribuí (3x − 6 = 15) o dividí primero los dos miembros por 3 (x − 2 = 5).
7Resolvé: x2 + x4 = 9
Pista: multiplicá cada término de los dos miembros por 4. La mitad de x por 4 da 2x; la cuarta parte de x por 4 da x. Y no te olvides del 9.
8Verdadero o falso: x = 4 es solución de 2(x + 1) = 3x − 2.
9¿Una solución, ninguna o infinitas?
a) 4x + 1 = 4x + 6
b) 2(x + 3) = 2x + 6
c) 5x + 1 = 2x + 7
10Desafío final: las alcancías
Lu tiene $12.000 ahorrados y guarda $3.000 por semana. Santi tiene $30.000 y guarda $1.000 por semana. ¿Dentro de cuántas semanas van a tener la misma plata?
Pista: después de x semanas, Lu tiene 12.000 + 3.000x. Escribí lo que tiene Santi y planteá que las dos cantidades son iguales.
Para llevarte: la receta de la balanza
- Paréntesis: si hay, distribuí, con todos los signos.
- Fracciones: si hay varias, multiplicá cada término de los dos miembros por un número que las borre.
- Juntá: las x en un miembro y los números en el otro, siempre con la misma operación en los dos lados.
- Despejá: dividí los dos miembros por el coeficiente de la x.
- Verificá en la ecuación original y respondé lo que te preguntaron.
x = 7
una solución
0x = 4
ninguna solución
0x = 0
infinitas soluciones
Para seguir: si los signos te traban, repasá «Números enteros» (1.º año). Más adelante, en «Función lineal» (3.º año), vas a ver cada lado de una ecuación como una recta, y en «Sistemas de ecuaciones» (3.º año), qué pasa cuando hay dos cajas distintas escondidas.
Contestá sin mirar
- ¿Qué es la solución de una ecuación y cómo comprobás que un número lo es?
- ¿Por qué funciona «el 5 pasa restando»? Explicalo con la balanza.
- ¿Qué diferencia hay entre 3x y 3 + x? Mostralo con x = 5.
- En 2x + 6 = 10, ¿por qué no podés escribir x + 6 = 5?
- ¿Cómo te das cuenta de que una ecuación no tiene solución?
Respuestas
Laboratorio de la balanza
- x + 3 = 8: sacás 3 pesas de cada plato y queda x = 5.
- 2x + 1 = 9 → 2x = 8 (una pesa menos de cada lado) → repartís en 2: x = 4.
- 3x + 2 = x + 8 → 2x + 2 = 8 (una caja menos de cada lado) → 2x = 6 → x = 3.
- 4x + 3 = x + 9 → 3x + 3 = 9 → 3x = 6 → x = 2.
Detector de errores
- Benja: renglón 2; lo correcto es x = 15 − 7 = 8.
- Juli: renglón 2; no dividió el 6. Queda x + 3 = 5, x = 2.
- Nico: renglón 2; −2 · (−3) = +6. Queda 16 − 2x = 4, x = 6.
- Cami: renglón 2; queda −x = 3, entonces x = −3.
- Fede: renglón 3; el 3 multiplica: x = 15 : 3 = 5.
Elegí la ecuación
- A: 2x − 4 = 18, x = 11.
- B: x + (x + 1) + (x + 2) = 81; son 26, 27 y 28.
- C: la mitad de x, más 7, igual a x − 3; x = 20 (los dos miembros valen 17).
Taller
- x = 23 − 9 = 14.
- x = 28 : 4 = 7.
- x = 5, porque 9 − 5 = 4.
- Sumás 2: la quinta parte de x es 6, así que x = 30.
- 4x − 4 = 16, 4x = 20, x = 5 (los dos miembros valen 31).
- x − 2 = 5, x = 7.
- Todo por 4: 2x + x = 36, x = 12.
- Verdadero: los dos miembros valen 10.
- a) ninguna (1 = 6) · b) infinitas · c) una: x = 2.
- 12.000 + 3.000x = 30.000 + 1.000x; 2.000x = 18.000; x = 9 semanas (los dos tienen $39.000).
Contestá sin mirar
- El número que hace verdadera la igualdad. Se comprueba reemplazándolo en la ecuación original: los dos miembros tienen que dar lo mismo.
- Porque en realidad restás 5 en los dos miembros: de un lado + 5 − 5 se anula y del otro aparece − 5. Es sacar 5 kilos de cada plato.
- 3x es 3 · x (con x = 5 vale 15); 3 + x es una suma (vale 8).
- Dividir un miembro por 2 es dividirlo entero: (2x + 6) : 2 = x + 3. Queda x + 3 = 5 y x = 2.
- Cuando las x desaparecen y queda una igualdad falsa entre números, como 3 = 7.